about : Yasumasa Morimura

Monday, June 20, 2005

Matematica e Musica, tra frattali e note musicali

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Il presente lavoro è stato presentato nell'ambito dei Colloquium di Matematica presso il Dip. di Matematica ed Informatica dell'Università di Cagliari ed in occasione della Settimana Scientifica dell'Università di Cagliari (2000). Da un'idea di Lucio Cadeddu Docente di Analisi Matematica - Dip. di Matematica di Cagliarie Ettore Carta Direttore d'orchestra e compositore.

from : Lucio Cadeddu e Ettore Carta

Curiosità storiche

Per la curva di Koch il matematico Cesaro, nel lontano 1905, disse:"E' una similitudine tra il tutto e le sue parti, perfino quelle infinitesimali, che ci porta a considerare la Curva di Koch alla stregua di una linea meravigliosa tra tutte.
Se fosse dotata di vita non sarebbe possibile annientarla senza sopprimerla al primo colpo, poichè in caso contrario rinascerebbe incessantemente dalle profondità dei suoi triangoli, come la vita nell'universo..."

Il matematico Hermite, nello stesso anno, per contro, commentava così la curva di Koch:"Mi ritraggo con spavento ed orrore da questa piaga lamentevole delle funzioni che non hanno derivata...

....altri facili esempi

La cosiddetta Guarnizione di Sierpinski (fig.3) è ottenuta a partire da un triangolo dentro al quale si fanno "germogliare" altri triangoli simili. E' chiaro che iterando il procedimento all'infinito si ottiene una figura molto complessa e ricca di "segreti", per esplorare i quali sarebbe necessaria una sorta di "lente d'ingrandimento"
D'altra parte, è altrettanto chiaro che ad ogni ingrandimento si rivelerebbe agli occhi dell'osservatore una struttura "autosimile" a quella osservata nell'ingrandimento precedente.

Altra struttura semplice ed intuitiva, ma non per questo meno ricca, è il cosiddetto Pattern di Apollonio (fig.4), ottenuto - come si evince dalla figura - mediante germogliatura di cerchi sempre più piccoli che vanno ad occupare spazi sempre più angusti. Anche in questo caso, l'idea della "parte" simile al "tutto" è evidente e richiama nuovamente alla mente l'idea di esplorazione tramite ingrandimenti successivi.

Non si deve cadere nel facile tranello di pensare che queste appena viste siano delle curiose ed inutili costruzioni geometriche. Riflettendoci bene, ci accorgiamo che molta della Natura che ci circonda ha una struttura assimilabile a quella "frattale": dai contorni di una nuvola al profilo delle coste, alla struttura alveolare dei nostri polmoni fino alle infiorescenze di una felce (fig.5) o di un cavolfiore!
In un certo senso, gli oggetti frattali, con le loro "stranezze", ci consentono di descrivere la Natura in modo più ricco e vicino al reale.

L'insieme più famoso....Mandelbrot!

L'insieme di Mandelbrot (fig.6) è la parte interna della figura qui sopra. è definito matematicamente come segue:

Un punto c del piano complesso C appartiene all'insieme di Mandelbrot se la successione definita ricorsivamente da z_n+1 = (z_n)² + c è non divergente (punto iniziale z₀ = 0)
La frontiera (ossia il "bordo") di questo insieme è una curva frattale.
L'autosimilarità tipica delle figure frattali è qui più ricca che nella curva di Koch. Infatti per successive "zoomate" si ritrovano costruzioni simili ma non identiche.

I diversi colori attribuiti ai punti del piano sono in diretta corrispondenza con il numero di iterazioni per le quali la successione diverge. Tutta la costruzione può essere fatta al calcolatore con un semplice programma in C, Pascal, Qbasic o altri linguaggi.
Come abbiamo appena visto, per ottenere strutture più ricche è necessario uno "sforzo" matematico ulteriore.

Anche in questo caso The Fractal Microscope può essere di grande aiuto nella comprensione della struttura di un oggetto frattale.

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